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一个完全不存在于实数系中的数

时间:2018-09-28 11:17

来源:未知作者:admin点击:

  此前,彭博援引美国曼哈顿联邦法庭诉讼文件摘要,称,“马斯克在活跃交易日的盘中时间用手机公开宣布了虚假的、带有误导性的特斯拉私有化消息,在将声明发布给他在Twitter上的超过2200万粉丝和其他任何可以上网的人之前,他并没有与其他任何人讨论过声明的内容。他也没有按照纳斯达克的规定要求,通知纳斯达克他打算发布这个公告。”
 
  其后马斯克回应称,“这一不公正的指控让我既难过又失望,我总是本着诚实、透明的心,为投资人的利益考虑。正直是我人生最珍视的价值,我会用事实证明我从未在这一品格上妥协。”19世纪发现的“四元数”永久地改变了物理学和数学,它给予了数学家们一种描述空间旋转的新方式。
 
  如果把指向3点的时针往回拨动到12点,会经历怎样的过程?数学家早就知道如何将这种旋转简化成一个乘法运算:用一个数表示时针在平面上的初始位置,再乘上另一个常数。那么用相同的技巧描述三维空间中的转动可行吗?常识认为是可以的,但19世纪最杰出多产的数学家之一——威廉·哈密顿(William Hamilton)却花费了十多年的时间才找到用于描述三维空间旋转的数学概念。数学中仅有四个数系准确遵循标准算法的近似模拟,哈密顿解决出的方法是其中第三个,这一成果还促进了现代代数的兴起。
 
  第一个数系是实数系。实数包括了我们在中学学到的所有数,比如-3.7和42;这一系列数字可以有序地从最小到最大排列。文艺复兴时期的代数学家偶然发现了第二个可以用来加减乘除的数系。如果想让一些方程存在解,必须引入一个新的数——虚数i,一个完全不存在于实数系中的数。如果把实数想象成一条直线,那第二个数系就是一步踏进了“复平面”。在这个平面世界中,“复数”表示一个个类似箭头的矢量,可以通过加法和减法来滑移,或通过乘法和除法进行转动和拉伸。
 
  在经典力学和量子力学中有一个与哈密顿同名的算法,叫做“哈密顿函数”,这位爱尔兰数学家曾希望通过添加一个假想的j轴从复平面变换至三维空间。但三维空间中一些奇特的性质推翻了哈密顿想到的一个又一个体系。“他一定尝试过千百次但没有一个体系成功。”加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹(John Baez)感慨道。问题就在于乘法,在复平面里,矢量的转动要通过乘法实现。无论哈密顿如何定义三维中的乘法,始终无法反过来让对应的除法重现有意义的结果。要理解三维转动为何如此复杂,可以对比转动方向盘和旋转地球仪:方向盘外周的所有点以相同方式一起运动,所以它们的矢量只需要乘同一个(复)数;但地球仪(球体)上的点,靠近赤道的速度最快,而越往两极越慢。更关键的是,两极不会有任何运动。贝兹解释说,如果三维旋转和二维一样,理论上所有的点都会移动。
 
  1843年10月16日,一个惊人的解决方法在哈密顿脑中乍现,兴奋的哈密顿立刻将相关方程刻在了都柏林的金雀花桥上。只要把球体放在一个更高的维度里,它的转动就会更接近于二维的运动。首先需要三个虚数轴i、j、k,再加上一个实数轴a,就可以定义四维空间的矢量。哈密顿命名这一类新的数为“四元数”(quaternions)。在当天夜幕降临时,他已经勾勒出三维矢量转动的大致图景:简洁的四元数就能表示这些复杂的转动,其中只需要一个等于0的实数a和三个虚数i、j、k,同时他把代表三个方向的虚数称作“矢量”。转动一个三维矢量等同于乘一个有序的四元数,四元数包含了转动方向和角度的信息。
 
  所有对实数和复数有效的操作都可以作用在四元数上,除了一个难以调和的差异。在实数系中3×2等同于2×3,但在四元数系中乘法顺序不可交换。尽管四元数确实有效描述了现实物体的转动,但数学家从未在数系中发现过这样奇特的性质。举个例子,把你的手机面朝上水平放置;让它向左转90°,然后向远离你的方向翻转,注意此时手机摄像头的朝向;然后返回最初的位置,先让手机向远离你的方向翻转再向左旋转,观察现在的朝向。现在的摄像头为什么指向右边?这令人惊讶的现象,即非交换性,被证明是四元数与现实共有的特性。
 
  但新数系中蛰伏着一个问题。当手机或矢量以任何方式转动了360°,而在四维空间中,四元数只是描述其转动了180°。你需要两次完全的旋转才能让表示手机或矢量空间位置的四元数回到最初的状态。(只翻转一次,四元数的符号会相反,因为虚数的平方是-1)
 
  颠倒的矢量会产生虚假的负信号,这可能会严重破坏物理体系,因此哈密顿在桥上刻下发现后的近四十年,物理学家彼此论战欲阻止四元数成为描述转动的标准。而耶鲁大学教授约西亚·吉布斯(Josiah Gibbs)定义现代矢量时,抵制行为爆发了。要确定第四维度非常麻烦,Gibbs通过完全删去变量a以精简哈密顿的发现:Gibbs得到的“四元数系”保留i、j、k三个符号,没有实数变量a的情况下,把四元数乘法简化拆分成独立的矢量相乘,即现在每个数学、物理专业本科生都会学到的点乘(数量积)和叉积(向量积)。一些哈密顿的支持者把新的系统看作“怪物”,而现代矢量拥护者则贬低四元数是“无理纠缠”和“纯粹的邪恶”。论战在期刊和文册上持续多年,最终现代矢量凭借其易用性走向胜利。北京时间9月28日上午消息,针对周四SEC起诉特斯拉CEO马斯克涉嫌证券欺诈一事,特斯拉声明称,“公司和董事会对埃隆的正直、领导力有充分的信心,正是他的这两项品质,打造出了一个多世纪以来最成功的的美国汽车公司。我们的关注点仍然是Model 3的生产,交货给客户,对股东和员工负责。”
 
  
 
  
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